Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Hàm số \(y=f(x)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( a;b \right)\Leftrightarrow f'(x)\le 0,\forall x\in \left( a;b \right)\), bằng 0 tại hữu hạn điểm trên (a;b).

Giải chi tiết:

\(y={{x}^{3}}-3(m+2){{x}^{2}}+3({{m}^{2}}+4m)x+1\Rightarrow y'=3{{x}^{2}}-6(m+2)x+3({{m}^{2}}+4m)\)

Hàm số \(y={{x}^{3}}-3(m+2){{x}^{2}}+3({{m}^{2}}+4m)x+1\) nghịch biến trên khoảng (0; 1) \(\Leftrightarrow f'(x)\le 0,\forall x\in \left( 0;1 \right)\), bằng 0 tại hữu hạn điểm trên (0; 1).

\(\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6(m+2)x+3({{m}^{2}}+4m)\le 0,\forall x\in \left( 0;1 \right)\), bằng 0 tại hữu hạn điểm trên (0; 1).

Xét phương trình \(3{{x}^{2}}-6(m+2)x+3({{m}^{2}}+4m)=0\,(*)\)

\(\Delta '=9{{(m+2)}^{2}}-3.3.({{m}^{2}}+4m)=36>0,\,\,\forall m\Rightarrow \) Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\)

Để hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 1) thì \({{x}_{1}}\le 0<1\le {{x}_{2}}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1}{x_2} \le 0\\(1 - {x_1})(1 - {x_2}) \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1}{x_2} \le 0\\1 + {x_1}{x_2} - ({x_1} + {x_2}) \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 4m \le 0\\1 + {m^2} + 4m - 2m - 4 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4 \le m \le 0\\ - 3 \le m \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow - 3 \le m \le 0\)

Mà \(m\in Z\Rightarrow m\in \left\{ -3;-2;-1;0 \right\}\Rightarrow \) Có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

Chọn: B