Cho hai số phức \({{z}_{1}};{{z}_{2}}\) thỏa mãn đ...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Tìm các đường biểu diễn \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\).

Vẽ trên trục tọa độ Oxy và biện luận.

Giải chi tiết:

Gọi \({{z}_{1}}=x+yi\) ta có:

\(\begin{align}  2\left| x-yi+i \right|=\left| x-yi-x-yi-2i \right| \\  \Leftrightarrow 2\left| x-yi+i \right|=2\left| yi+i \right| \\  \Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}={{\left( y+1 \right)}^{2}} \\  \Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2y+1={{y}^{2}}+2y+1 \\  \Leftrightarrow {{x}^{2}}=4y \\  \Leftrightarrow y=\frac{{{x}^{2}}}{4} \\ \end{align}\)

\(\Rightarrow \) Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức \({{z}_{1}}\) là parabol \(y=\frac{{{x}^{2}}}{4}\).

Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức \({{z}_{2}}\) là là đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(I\left( 10;1 \right)\) bán kính \(R=1\).

\(\Rightarrow \left( C \right):\,\,{{\left( x-10 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=1\).

Gọi M, N lần lượt là điểm biểu diễn cho số phức \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\Rightarrow \left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\left| \overrightarrow{OM}-\overrightarrow{ON} \right|=MN\)

\(\Rightarrow {{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}_{\min }}\Leftrightarrow M{{N}_{\min }}\).

Dựa vào hình vẽ ta thấy \(M{{N}_{\min }}\Leftrightarrow MN\bot \) tiếp tuyến tại M của parabol \(y=\frac{{{x}^{2}}}{4}\) và đi qua I.

Ta có \(y'=\frac{x}{2}\) . Gọi \(M\left( m;\frac{{{m}^{2}}}{4} \right)\,\,\left( m>0 \right)\Rightarrow y'\left( m \right)=\frac{m}{2}\Rightarrow pttt:\,\,y=\left( x-m \right)+\frac{{{m}^{2}}}{4}=\frac{m}{2}x-\frac{{{m}^{2}}}{4}\,\,\left( d \right)\)

\(\begin{align}  \Rightarrow MN\ge d\left( I;d \right)-1\Rightarrow M{{N}_{\min }}\Leftrightarrow d\left( I;d \right)=IM \\  \Leftrightarrow \frac{\left| 5m-1-\frac{{{m}^{2}}}{4} \right|}{\sqrt{1+\frac{{{m}^{2}}}{4}}}=\sqrt{{{\left( m-10 \right)}^{2}}+{{\left( \frac{{{m}^{2}}}{4}-1 \right)}^{2}}} \\  \Leftrightarrow \frac{{{\left( 5m-1-\frac{{{m}^{2}}}{4} \right)}^{2}}}{1+\frac{{{m}^{2}}}{4}}={{\left( m-10 \right)}^{2}}+{{\left( \frac{{{m}^{2}}}{4}-1 \right)}^{2}} \\ \end{align}\)

Giải phương trình trên ra tìm được \(m=4\), khi đó \(IM=3\sqrt{5}\Rightarrow M{{N}_{\min }}=3\sqrt{5}-1\) .

Chọn B.