Số nghiệm nguyên dương của bất phương trình \({{\l...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Biến đổi và đặt \({{\log }_{2}}x=t\), giải bất phương trình ẩn t.

Giải chi tiết:

\({{\log }_{\sqrt{2}}}x-{{\log }_{x}}16+{{\log }_{2}}x\le 1\), (Điều kiện: \(x>0,\,\,x\ne 1\))

\(\Leftrightarrow 2{{\log }_{2}}x-4{{\log }_{x}}2+{{\log }_{2}}x\le 1\Leftrightarrow 3{{\log }_{2}}x-\frac{4}{{{\log }_{2}}x}-1\le 0\) (1)

Đặt \({{\log }_{2}}x=t,\,\,t\ne 0\). Bất phương trình (1) trở thành: \(3t-\frac{4}{t}-1\le 0\Leftrightarrow \frac{3{{t}^{2}}-t-4}{t}\le 0\)

Bảng xét dấu:

 \(\Rightarrow \left[ \begin{align}  t\le -1 \\  0<t\le \frac{4}{3} \\ \end{align} \right.\) 

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _2}x \le  - 1\\0 < {\log _2}x \le \frac{4}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \le \frac{1}{2}\\1 < x \le {2^{\frac{4}{3}}}\end{array} \right.\)

Mà \(x\in {{Z}^{+}}\Rightarrow x=2\).

Chọn: D