Cho hình lập phương \(ABCD.EFGH\) cạnh bằng \(a.\)...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Gắn hệ tọa độ Oxyz vào hình lập phương, sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

Giải chi tiết:

Chuẩn hóa \(a=1.\) Gắn hệ tọa độ \(Oxyz\) (như hình vẽ bên).

Với \(A\left( 0;0;0 \right),\,\,B\left( 1;0;0 \right),\,\,D\left( 0;1;0 \right),\,\,E\left( 0;0;1 \right),\,\,H\left( 0;1;1 \right).\)

Đường thẳng \(AH\) đi qua \(A\left( 0;0;0 \right),\) có vectơ chỉ phương \({{\vec{u}}_{1}}=\left( 0;1;1 \right).\)

Đường thẳng \(BD\) đi qua \(B\left( 1;0;0 \right),\) có vectơ chỉ phương \({{\vec{u}}_{2}}=\left( -\,1;1;0 \right).\)

Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AH,\,\,BD\) là \(d=\frac{\left| \overrightarrow{AB}.\left[ {{{\vec{u}}}_{1}};{{{\vec{u}}}_{2}} \right] \right|}{\left| \left[ {{{\vec{u}}}_{1}};{{{\vec{u}}}_{2}} \right] \right|}=\frac{\sqrt{3}}{3}.\)

Vậy khoảng cách cần tính là \(d\left( AH;BD \right)=\frac{a\sqrt{3}}{3}.\)

Chọn B