Cho phương trình \({{2}^{x}}+m=\...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ sau đó xét hàm số đặc trưng.

Giải chi tiết:

Điều kiện: \(x-m>0\Leftrightarrow x>m.\)

Đặt: 

\({2^x} + m = {\log _2}\left( {x - m} \right) = y \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{2^x} + m = y\\
{\log _2}\left( {x - m} \right) = y
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{2^x} + m = y\\
x - m = {2^y}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{2^x} + x = {2^y} + y\;\;\;\;\;\left( * \right)\\
m = x - {2^y}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( {**} \right)
\end{array} \right..\)

Xét hàm số đặc trưng: \(f\left( t \right)={{2}^{t}}+x\) ta có: \(f'\left( t \right)={{2}^{t}}\ln 2+1>0\ \ \forall t.\)

\(\Rightarrow f\left( t \right)\) đồng biến trên \(R.\)

Khi đó ta có: \(\left( * \right)\Leftrightarrow f\left( x \right)=f\left( y \right)\Leftrightarrow x=y.\)

\(\Rightarrow \left( ** \right)\Leftrightarrow m=x-{{2}^{x}}\ \ \ \ \left( *** \right).\)

Xét hàm số: \(g\left( x \right)=x-{{2}^{x}}\) có: \(g'\left( x \right)=1-{{2}^{x}}\ln 2.\)

\(\Rightarrow g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 1-{{2}^{x}}\ln 2\Leftrightarrow {{2}^{x}}=\frac{1}{\ln 2}\Leftrightarrow x={{\log }_{2}}\left( \frac{1}{\ln 2} \right)=-{{\log }_{2}}\left( \ln 2 \right).\)

Ta có BBT:

\(\Rightarrow \ \left( *** \right)\) có nghiệm \( \Leftrightarrow m \le  - \log_2\left( {\ln 2} \right) - \frac{1}{{\ln 2}} \approx  - 0,914\)

Với \(m\in \left( -18;\ 18 \right)\) và \(m\in Z\Rightarrow m\in \left\{ -17;-16;....;-2;-1 \right\}.\)

Vậy có 17 giá trị \(m\) thỏa mãn.

Chọn C.