Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) l...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Gọi \(M\) là trung điểm của \(AC\). Gọi \(K\) là trung điểm của \(AM\), chứng minh \(\angle \left( {\left( {ACC'A'} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {A'K;KH} \right)\)

Giải chi tiết:

Gọi \(M\) là trung điểm của \(AC \Rightarrow BM \bot AC\).

Gọi \(K\) là trung điểm của \(AM\). Ta có \(KH\) là đường trung bình của tam giacx \(ABM\)

\( \Rightarrow KH//BM \Rightarrow KH \bot AC\) và \(KH = \dfrac{1}{2}BM = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AC \bot A'H\,\,\left( {gt} \right)\\AC \bot KH\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {AKH} \right) \Rightarrow C \bot A'K\)

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left( {ACC'A'} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AC\\\left( {ACC'A'} \right) \supset A'K \bot AC\\\left( {ABC} \right) \supset KH \bot AC\end{array} \right.\\ \Rightarrow \angle \left( {\left( {ACC'A'} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {A'K;KH} \right) = \angle A'KH = {45^0}\end{array}\)

\( \Rightarrow \Delta A'KH\) vuông cân tại \(H \Rightarrow A'H = KH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\).

\( \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = A'H.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{3{a^3}}}{{16}}\).

Chọn A.