Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt \(t = 2\sin \dfrac{x}{2}\cos \dfrac{x}{2} + 3\), tìm điều kiện của \(t\) và dựa vào đồ thị tìm \(GTLN,GTNN\) của \(f\left( t \right)\).

Giải chi tiết:

Đặt \(t = 2\sin \dfrac{x}{2}\cos \dfrac{x}{2} + 3 = \sin x + 3 \Rightarrow 2 \le t \le 4\).

Quan sát đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) trên đoạn \(\left[ {2;4} \right]\) thì \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {2;4} \right]} f\left( t \right) = 5,\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;4} \right]} f\left( t \right) = 1\) nên GTNN của \(g\left( x \right)\) là \(1\) đạt được tại \(t = 2\) hay \(\sin x =  - 1 \Leftrightarrow x =  - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \) và GTLN của \(g\left( x \right)\) đạt được bằng \(5\) đạt được tại \(t = 4\) hay \(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \).

Vậy tổng là \(1 + 5 = 6\).

Chọn A.