Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hà...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nguyên hàm \(\int {\dfrac{1}{u}} \,du = \ln \left| u \right| + C\), dựa dữ kiện đề bài  tìm được \(C\), từ đó tính \(F\left( 2 \right) - F\left( { - 1} \right)\)

Giải chi tiết:

Ta có \(F\left( x \right) = \int {\dfrac{1}{{x - 1}}dx = \ln \left| {x - 1} \right| + C = \left\{ \begin{array}{l}\ln \left( {x - 1} \right) + {C_1}\,\,khi\,x > 1\\\ln \left( {1 - x} \right) + {C_2}\,\,khi\,x < 1\end{array} \right.} \)

+ Với \(F\left( 5 \right) = 2 \Rightarrow \ln \left( {5 - 1} \right) + {C_1} = 2 \Rightarrow {C_1} = 2 - 2\ln 2 \Rightarrow F\left( x \right) = \ln \left( {x - 1} \right) + 2 - 2\ln 2\,\,\left( {khi\,x > 1} \right)\)

+ Với \(F\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow \ln \left( {1 - 0} \right) + {C_2} = 1 \Leftrightarrow {C_2} = 1 \Rightarrow F\left( x \right) = \ln \left( {1 - x} \right) + 1\,\,\left( {khi\,x < 1} \right)\)

Suy ra \(F\left( 2 \right) = \ln \left( {2 - 1} \right) + 2 - 2\ln 2 = 2 - 2\ln 2\) ; \(F\left( { - 1} \right) = \ln \left( {1 + 1} \right) + 1 = 1 + \ln 2\)

Nên \(F\left( 2 \right) - F\left( { - 1} \right) = 2 - 2\ln 2 - \left( {1 + \ln 2} \right) = 1 - 3\ln 2.\)

Chọn  C.