Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+ Đặt \(\dfrac{{3\sin x - \cos x - 1}}{{2\cos x - \sin x + 4}} = t\), biến đổi đưa về dạng \(a\sin x + b\cos x = c\), phương trình này có nghiệm khi \({a^2} + {b^2} \ge {c^2}\) từ đó ta tìm ra được điều kiện của \(t.\)

+ Dựa vào đồ thị hàm số để xác định điều kiện nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = f\left( {\left| t \right|} \right)\)

Từ đó suy ra điều kiện có nghiệm của phương trình đã cho.

Chú ý rằng nếu hàm \(f\left( t \right)\) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên \(\left( {a;b} \right)\) thì phương trình \(f\left( u \right) = f\left( v \right)\) nếu có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất trên \(\left( {a;b} \right) \Leftrightarrow u = v.\)

Giải chi tiết:

Vì \( - 1 \le \sin x \le 1; - 1 \le \cos x \le 1\) nên \(2\cos x - \sin x >  - 3 \Rightarrow 2\cos x - \sin x + 4 > 0\)

Đặt \(\dfrac{{3\sin x - \cos x - 1}}{{2\cos x - \sin x + 4}} = t \Leftrightarrow 3\sin x - \cos x - 1 = t\left( {2\cos x - \sin x + 4} \right)\)

\( \Leftrightarrow \cos x\left( {2t + 1} \right) - \sin x\left( {t + 3} \right) =  - 4t - 1\)

Phương trình trên có nghiệm khi \({\left( {2t + 1} \right)^2} + {\left( {t + 3} \right)^2} \ge {\left( { - 4t - 1} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow 5{t^2} + 10t + 10 \ge 16{t^2} + 8t + 1\) \( \Leftrightarrow 11{t^2} - 2t - 9 \le 0 \Leftrightarrow  - \dfrac{9}{{11}} \le t \le 1 \Rightarrow 0 \le \left| t \right| \le 1\)

Từ đồ thị hàm số ta thấy hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {0;1} \right)\)

Nên phương trình \(f\left( x \right) = f\left( {\left| t \right|} \right)\) với \(t \in \left[ {0;1} \right]\) có nghiệm duy nhất khi \(x = \left| t \right| \Rightarrow x \ge 0\)

Do đó phương trình \(f\left( {\left| {\dfrac{{3\sin x - \cos x - 1}}{{2\cos x - \sin x + 4}}} \right|} \right) = f\left( {{m^2} + m + 4} \right)\)  có nghiệm

\( \Leftrightarrow \left| t \right| = {m^2} + 4m + 4\) có nghiệm với \(0 \le \left| t \right| \le 1\)

\( \Leftrightarrow 0 \le {m^2} + 4m + 4 \le 1 \Leftrightarrow {\left( {m + 2} \right)^2} \le 1 \Leftrightarrow  - 3 \le m \le  - 1\)

Mà \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ { - 3; - 2; - 1} \right\}\). Vậy có 3 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu.

Chọn D.