Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình t...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+ Xác định chiều cao của hình chóp bằng cách sử dụng: Nếu \(SA = SB = SC\) thì \(S\) thuộc trục đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) hay chân đường cao hạ từ \(S\) xuống \(\left( {ABC} \right)\) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC.\)

+ Tính chiều cao \(SH\) dựa vào định lý Pyatgo

+ Tính thể tích theo công thức \(V = \frac{1}{3}hS\) với \(h\) là chiều cao hình chóp, \(S\) là diện tích đáy.

Giải chi tiết:

Vì \(ABCD\) là hình thoi nên \(AB = BC\) mà \(\angle ABC = 60^\circ \) nên \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a.\)

Gọi \(H\) là trọng tâm tam giác \(ABC\), \(O\) là giao điểm hai đường chéo hình thoi.

Vì \(SA = SB = SC\) nên \(S\) thuộc trục đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) hay chân đường cao hạ từ \(S\) xuống \(\left( {ABC} \right)\) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp \(H\) của tam giác \(ABC.\) Hay \(SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\)

+ Vì \(ABC\) đều cạnh \(a\) tâm \(H\) nên \(AC = a;\,BO = \frac{{a\sqrt 3 }}{2};\,BH = \frac{2}{3}BO = \frac{2}{3}\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

+ Vì \(SH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot BD\)

+ Xét tam giác \(BHD\) vuông tại \(H\) có \(SH = \sqrt {S{B^2} - B{H^2}}  = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}}  = \frac{{a\sqrt 5 }}{{\sqrt 3 }}\)

+ Diện tích hình thoi \(ABCD\) là \(\frac{1}{2}AC.BD = \frac{1}{2}AC.2BO = \frac{1}{2}a.2.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\)

Thể tích \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 5 }}{{\sqrt 3 }}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 5 }}{6}.\)

Chọn A.