Cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) có \(AB =...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt \(HM = x\), lập hàm thể tích khối nón \(\left( N \right)\) và tìm GTLN của hàm số đó.

Giải chi tiết:

Quay tam giác vuông \(AMH\) quanh trục \(AB\) ta được khối nón có đỉnh \(A\), bán kính đát \(HM\) và đường cao \(AH\) , khi đó ta có thể tích của khối nón tròn xoay \(\left( N \right)\) là \(V = \frac{1}{3}\pi H{M^2}.AH\)

Đặt \(HM = x,\,\,\left( {0 \le x \le 12\sqrt 2 } \right)\) ta có \(\Delta BHM\) vuông cân tại \(H\) nên \(BH = HM = x \Rightarrow AH = AB - BH = 12 - x\)

Khi đó \(V = \frac{1}{3}\pi {x^2}\left( {12 - x} \right)\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^2}\left( {12 - x} \right)\)  với \(x \in \left[ {0;12\sqrt 2 } \right]\)

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = 2x\left( {12 - x} \right) - {x^2} =  - 3{x^2} + 24x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 8\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}f\left( 0 \right) = 0\\f\left( {12} \right) = 0\\f\left( 8 \right) = 256\end{array} \right. \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;12\sqrt 2 } \right]} f\left( x \right) = 256\\ \Rightarrow {V_{max}} = \frac{1}{3}\pi .256 = \frac{{256\pi }}{3}\end{array}\)

Chọn C.