Tìm tất cả các giá trị của tham số \(a\) để phương...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp cô lập tham số, đưa về khảo sát tính chất nghiệm của đường thẳng và đồ thị hàm số

Giải chi tiết:

Ta có \(\frac{a}{{{3}^{x}}+{{3}^{-\,x}}}={{3}^{x}}-{{3}^{-\,x}}\Leftrightarrow a=\left( {{3}^{x}}+\frac{1}{{{3}^{x}}} \right)\left( {{3}^{x}}-\frac{1}{{{3}^{x}}} \right)={{\left( {{3}^{x}} \right)}^{2}}-\frac{1}{{{\left( {{3}^{x}} \right)}^{2}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right).\)

Đặt \(t={{\left( {{3}^{x}} \right)}^{2}}={{9}^{x}}>0,\) khi đó \(\left( * \right)\Leftrightarrow a=f\left( t \right)=t-\frac{1}{t}.\)

Xét hàm số \(f\left( t \right)=t-\frac{1}{t}\) trên khoảng \(\left( 0;+\,\infty  \right),\) có \({f}'\left( t \right)=1+\frac{1}{{{t}^{2}}}>0.\)

Suy ra \(f\left( t \right)\) là hàm số đồng biến trên \(\left( 0;+\,\infty  \right),\) nên để \(a=f\left( t \right)\) có nghiệm duy nhất .\(\Leftrightarrow \,\,a\in \mathbb{R}.\)

Chọn A