Cho đồ thị hàm số \(y={{e}^{-{{x}^{2}}}}\) như hìn...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Biểu diễn tọa độ của các đỉnh \(A,B,C,D\) theo 1 ẩn \(x\).

+) Tính diện tích hình chữ nhật theo \(x\) sau đó tìm giá trị lớn nhất của diện tích bằng cách dùng hàm số .

Giải chi tiết:

Gọi \(D\left( x;0 \right)\Rightarrow C\left( x;{{e}^{-{{x}^{2}}}} \right);A\left( -x;0 \right);B\left( -x;{{e}^{-{{x}^{2}}}} \right)\) với \(x>0\).

Khi đó \(AB={{e}^{-{{x}^{2}}}};AD=2x\) nên \({{S}_{ABCD}}=AB.AD=2x.{{e}^{-{{x}^{2}}}}\).

Xét hàm số \(y=2x.{{e}^{-{{x}^{2}}}},x>0\) ta có \({y}'=2.{{e}^{-{{x}^{2}}}}-2x.{{e}^{-{{x}^{2}}}}.2x=2{{e}^{-{{x}^{2}}}}\left( 1-2{{x}^{2}} \right)=0\Rightarrow x=\frac{1}{\sqrt{2}}\).

BBT của \(y=2x.{{e}^{-{{x}^{2}}}},x>0\).

Từ BBT suy ra \(\max y=y\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt e}\) khi \(x=\frac{1}{\sqrt{2}}\).

Chọn A.