Có bao nhiêu cặp số thực \(\left( x;\ y \right)\)...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Từ phương trình thứ nhất suy ra điều kiện của y để phá trị tuyệt đối.

+) Dựa vào phương trình thứ 2 tìm ra y.

+) Thay ngược lại phương trình 1 tìm x.

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{3^{\left| {{x^2} - 2x - 3} \right| - {{\log }_3}5}} = {5^{ - \left( {y + 4} \right)}}\\ \Leftrightarrow \frac{{{3^{\left| {{x^2} - 2x - 3} \right|}}}}{5} = {5^{ - y - 4}}\\ \Leftrightarrow {3^{\left| {{x^2} - 2x - 3} \right|}} = {5^{ - y - 3}}\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Ta có: \(\left| {{x}^{2}}-2x-3 \right|\ge 0\Rightarrow {{3}^{\left| {{x}^{2}}-2x-3 \right|}}\ge 1\Leftrightarrow {{5}^{-y-3}}\ge 1\Leftrightarrow -y-3\ge 0\Leftrightarrow y\le -3\)

Khi đó ta có: 

\(\begin{array}{l}4\left| y \right| - \left| {y - 1} \right| + {\left( {y + 3} \right)^2} \le 8\\ \Leftrightarrow  - 4y + y - 1 + {\left( {y + 3} \right)^2} \le 8\\ \Leftrightarrow  - 4y + y - 1 + {y^2} + 6y + 9 \le 8\\ \Leftrightarrow {y^2} + 3y \le 0\\ \Leftrightarrow  - 3 \le y \le 0\end{array}\)

Kết hợp với điều kiện \(y\le -3\Rightarrow y=-3\)

Khi đó từ (1) ta có:

\(\begin{array}{l}{3^{\left| {{x^2} - 2x - 3} \right|}} = {5^0} = 1\\ \Leftrightarrow \left| {{x^2} - 2x - 3} \right| = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x =  - 1\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy có 2 cặp (x ;y) thỏa mãn điều kiện bài toán.

Chọn B.