Cho hàm số \(y=f(x)\) có đồ thị hàm số \(y=f'(x)\)...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Tính \(g'\left( x \right)\), giải phương trình \(g'\left( x \right)=0\), xét dấu của \(g'\left( x \right)\).

\(g(x)\le 0,\,\,\forall x\in \left[ -\sqrt{5};\sqrt{5} \right]\Rightarrow \underset{\left[ -\sqrt{5};\sqrt{5} \right]}{\mathop{\max }}\,g\left( x \right)\le 0\) 

Giải chi tiết:

 \(\begin{align} g(x)=2f(x)+2{{x}^{3}}-4x-3m-6\sqrt{5} \\  \Rightarrow g'(x)=2f'(x)+6{{x}^{2}}-4=2\left[ f'(x)+3{{x}^{2}}-2 \right] \\  g'(x)=0\Leftrightarrow f'(x)+3{{x}^{2}}-2=0\Leftrightarrow f'(x)=2-3{{x}^{2}} \\ \end{align}\)

Quan sát đồ thị hàm số \(y=f'(x)\) và \(y=2-3{{x}^{2}}\) ta thấy, 2 đồ thị hàm số trên cắt nhau tại 3 điểm : \((0;2),\,\,(\sqrt{5};-13),\,\,(-\sqrt{5};-13)\) và đồ thị hàm số\(y=f'(x)\) luôn nằm trên đồ thị hàm số \(y=2-3{{x}^{2}}\).

Do đó \(g'(x)\ge 0,\,\,\forall x\in \left[ -\sqrt{5};\sqrt{5} \right],\,\,\,g'(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  x=0 \\  x=\sqrt{5} \\  x=-\sqrt{5} \\ \end{align} \right.\).

Hàm số \(y=g(x)\) đồng biến trên \(\left[ -\sqrt{5};\sqrt{5} \right]\) . Như vậy, để \(g(x)\le 0,\,\,\forall x\in \left[ -\sqrt{5};\sqrt{5} \right]\) thì \(\underset{\left[ -\sqrt{5};\sqrt{5} \right]}{\mathop{Max}}\,g(x)=g(\sqrt{5})\le 0\)

\(\Leftrightarrow 2f(\sqrt{5})+2.{{\left( \sqrt{5} \right)}^{3}}-4.\sqrt{5}-3m-6\sqrt{5}\,\,\le 0\,\,\,\Leftrightarrow 2f(\sqrt{5})-3m\le 0\,\,\,\Leftrightarrow m\ge \frac{2}{3}f\left( \sqrt{5} \right)\) .

Chọn: A