Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O đường k...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Chứng minh tứ giác ABEF có tổng hai góc đối bằng 180⁰

b) Dựa vào tính tích: Hai góc nội tiếp của 1 tứ giác nội tiếp cùng chắn 1 cung thì bằng nhau.

c) Tính diện tích hình quạt nhỏ giới hạn bởi cung BC và diện tích tam giác OBC.

Giải chi tiết:

a) Ta có \(\widehat {ABD} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow \widehat {ABD} + \widehat {AFE} = {180^0}\).

\( \Rightarrow \) Tứ giác ABEF là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰)

b) Do tứ giác ABEF nội tiếp nên \(\widehat {CAD} = \widehat {DBF}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EF).

Lại có \(\widehat {DBC} = \widehat {CAD}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CD).

\( \Rightarrow \widehat {DBC} = \widehat {DBF}\;\;\left( { = \widehat {CAD}} \right)\;\;\left( {dpcm} \right).\)

c) Do tứ giác ABEF nội tiếp nên \(\widehat {EFB} = \widehat {BAC} = {60^0} \Rightarrow \widehat {BOC} = {120^0}\) (Góc nội tiếp bằng nửa số đo góc ở tâm cùng chắn 1 cung).

Gọi H là trung điểm của BC ta có \(OH \bot BC\) (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).

\( \Rightarrow OH\)cũng là phân giác của \(\widehat {BOC} \Rightarrow \widehat {BOH} = \widehat {COH} = {60^0}\)

Xét tam giác OHB: \(OH = OB.\cos {60^0} = \frac{R}{2};\,\,BH = OB.\sin {60^0} = \frac{{R\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow BC = R\sqrt 3 \).

\( \Rightarrow {S_{\Delta OBC}} = \frac{1}{2}OH.BC = \frac{1}{2}.\frac{R}{2}.R\sqrt 3  = \frac{{{R^2}\sqrt 3 }}{4}\) .

Ta có diện tích hình quạt OBC (nhỏ) là \(S = \frac{{\pi {R^2}{{.120}^0}}}{{{{360}^0}}} = \frac{{\pi {R^2}}}{3}\).

Vậy diện tích hình giới hạn bởi dây cung BC và cung nhỏ BC là \(\frac{{\pi {R^2}}}{3} - \frac{{{R^2}\sqrt 3 }}{4} = {R^2}\left( {\frac{\pi }{3} - \frac{{\sqrt 3 }}{4}} \right)\).

Chọn A