Cho hình lập phương ABCD.A’B...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: \(d\left( BB',\ AC \right)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{BB'},\ \overrightarrow{AC} \right].\overrightarrow{AB} \right|}{\left| \left[ \overrightarrow{BB'},\ \overrightarrow{AC} \right] \right|}\)  

Giải chi tiết:

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}
A\left( {0;\;0;\;0} \right),\;\;B\left( {0;\;a;\;0} \right),\;\;C\left( {a;\;a;\;0} \right),\;B'\left( {0;\;a;\;a} \right).\\
\Rightarrow \overrightarrow {AC} = \left( {a;\;a;\;0} \right),\;\;\overrightarrow {BB'} = \left( {0;\;0;\;a} \right),\;\;\overrightarrow {AB} = \left( {0;\;a;\;0} \right).\\
\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BB'} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
a&0\\
0&a
\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
0&a\\
a&0
\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
a&a\\
0&0
\end{array}} \right|} \right) = \left( {{a^2}; - {a^2};0} \right).\\
\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BB'} } \right].\overrightarrow {AB} = 0.{a^2} - a.{a^2} = - {a^3}.\\
\Rightarrow d\left( {BB',\;AC} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {BB'} ,\;\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AB} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {BB'} ,\;\overrightarrow {AC} } \right]} \right|}} = \frac{{\left| { - {a^3}} \right|}}{{\sqrt {{a^4} + {a^4}} }} = \frac{{{a^3}}}{{a\sqrt 2 }} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.
\end{array}\)

Chọn C.