Trong không gian với hệ tọa độ O...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Gọi điểm \(N\left( x;y;z \right)\)

+) Ta có O, M, N thẳng hàng \(\Rightarrow OM.ON=\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{ON}=12\)

+) Tìm tọa độ điểm M theo x, y, z, viết phương trình mặt phẳng (ABC) dạng đoạn chắn.

+) \(M\in \left( ABC \right)\)  rút ra phương trình mặt cầu.

Giải chi tiết:

Gọi điểm \(N\left( x;y;z \right)\)

Ta có O, M, N thẳng hàng \(\Rightarrow OM.ON=\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{ON}=12\)

\(\begin{align}  & \Rightarrow \overrightarrow{OM}=\frac{12}{\overrightarrow{ON}}=\frac{12}{O{{N}^{2}}}.\overrightarrow{ON}=\frac{12}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}\left( x;y;z \right) \\ & \Rightarrow M\left( \frac{12x}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}};\frac{12y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}};\frac{12z}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}} \right) \\\end{align}\)

Mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) có phương trình \(\frac{x}{2}+\frac{y}{4}+\frac{z}{6}=1\Leftrightarrow 6x+3y+2z-12=0\)

Do \(M\in \left( ABC \right)\) nên thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng (ABC) ta có:

\(\begin{align}  & 6\frac{12x}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}+3\frac{12y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}+2\frac{12z}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}-12=0 \\ & \Leftrightarrow 6x+3y+2z-\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)=0 \\ & \Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-6x-3y-2z=0 \\\end{align}\)

Vậy khi M thay đổi trên \(\left( ABC \right)\) thì N luôn thuộc mặt cầu tâm \(I\left( 3;\frac{3}{2};1 \right)\)  bán kính \(R=\sqrt{9+\frac{9}{4}+1}=\frac{7}{2}\)

Chọn A.