Trên mặt phẳng nhẵn nằm ngang có hai lò xo cùng độ...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Ta có

Ta có

\(\begin{array}{l}{x_A} = 5\cos {\omega _A}t\left( {cm} \right);{x_B} = 5\cos \left( {{\omega _B}t + \pi } \right)cm\\ =  > AI = 5\cos {\omega _A}t + 25cm;BI = 5\cos \left( {{\omega _B}t + \pi } \right) + 25cm\\ =  > {d_{AB}} = AI + BI = 50 + 5\left[ {\cos {\omega _A}t + \cos \left( {{\omega _B}t + \pi } \right)} \right] = 50 + 10\cos \left[ {\frac{{\left( {{\omega _A} + {\omega _B}} \right)t}}{2} + \frac{\pi }{2}} \right]\cos \left[ {\frac{{\left( {{\omega _A} - {\omega _B}} \right)t}}{2} - \frac{\pi }{2}} \right]\end{array}\)

Vì \({m_B} = 4{m_A} =  > {\omega _B} = \frac{1}{2}{\omega _A}\,\,\left( {do\,k = \,nhau} \right)\)  

\( =  > {d_{AB}} = 50 + 10\cos \left( {\frac{{3{\omega _B}}}{2}t + \frac{\pi }{2}} \right)\cos \left( {\frac{{{\omega _B}}}{2}t - \frac{\pi }{2}} \right) = 50 - 10\sin \left( {\frac{{3{\omega _B}}}{2}t} \right)\sin \left( {\frac{{{\omega _B}}}{2}t} \right)\)

Đặt \(\frac{{{\omega _B}t}}{2} = a\) ta có \({d_{AB}} = 50 - 10\sin 3a.\sin a\)

Xét hàm \(f\left( a \right) = \sin 3a.\sin a = \left( {3\sin a - 4{{\sin }^3}a} \right)\sin a = 3{\sin ^2}a - 4{\sin ^4}a\)

Đặt \[{\sin ^2}a = y;\left( {0 \le y \le 1} \right)\] \(f = 3y - 4{y^2} =  - \left( {4{y^2} - 3y} \right) =  - \left[ {4{y^2} - 2.2y.\frac{3}{4} + \frac{9}{{16}} - \frac{9}{{16}}} \right] =  - {\left( {2y - \frac{3}{4}} \right)^2} + \frac{9}{{16}}\)

\({f_{max}} = \frac{9}{{16}} =  > y = \frac{3}{4}\left( {tm} \right) =  > {d_{AB\min }} = 50 - 10.\frac{9}{{16}} = 44,375\)

Chọn C