\(\left\{ \begin{array}{l}2{x^2} = y + \frac{1}{y}...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đây là hệ phương trình đối xứng loại 2 :

Cách giải :

Bước 1: Trừ vế cho vế của hai phương trình, rút gọn.

Bước 2: Đưa phương trình vừa thu được về dạng có chứa nhân tử \(\left( {x - y} \right)k\left( {x;y} \right) = 0\)

Bước 3: Giải phương trình tích \(\left( {x - y} \right)k\left( {x;y} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - y = 0\\k\left( {x;y} \right) = 0\end{array} \right.\).

Giải chi tiết:

\(\left\{ \begin{array}{l}2{x^2} = y + \frac{1}{y}\\2{y^2} = x + \frac{1}{x}\end{array} \right.\)

Điều kiện \(x;y \ne 0\)

Trừ theo vế ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}2{x^2} = y + \frac{1}{y}\\2{y^2} = x + \frac{1}{x}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{x^2} - 2{y^2} = y - x + \frac{1}{y} - \frac{1}{x}\\2{y^2} = x + \frac{1}{x}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2(x - y)(x + y) + (x - y) - \frac{{x - y}}{{xy}} = 0\\2{y^2} = x + \frac{1}{x}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}(x - y)\left[ {2(x + y) + 1 - \frac{1}{{xy}}} \right] = 0\\2{y^2} = x + \frac{1}{x}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = y\\\left[ {2(x + y) + 1 - \frac{1}{{xy}}} \right] = 0\end{array} \right.\\2{y^2} = x + \frac{1}{x}\end{array} \right.\)

Giải hệ : \(\left\{ \begin{array}{l}2{y^2} = x + \frac{1}{x}\\x = y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{x^2} = x + \frac{1}{x}\\x = y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{(x - 1)(2{x^2} + x + 1)}}{x} = 0\\x = y\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 1\)

Giải hệ \(\left\{ \begin{array}{l}2{y^2} = x + \frac{1}{x}\\2(x + y) + 1 - \frac{1}{{xy}} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{y^2} = x + \frac{1}{x}\\\frac{{2(x + y)xy + xy - 1}}{{xy}} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{y^2} = x + \frac{1}{x}\\2(x + y)xy + xy - 1 = 0\end{array} \right.\)

Mà ta có \(\left\{ \begin{array}{l}2{x^2} = y + \frac{1}{y}\\2{y^2} = x + \frac{1}{x}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{x^2} = \frac{{{y^2} + 1}}{y} \ge 0\\2{y^2} = \frac{{{x^2} + 1}}{x} \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\)(*)

Mặt khác \(2{x^2} = y + \frac{1}{y} \ge 2\sqrt {y.\frac{1}{y}}  = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \le  - 1\end{array} \right.\)(**)

Từ (*) và (**) ta có \(x \ge 1\) tương tự \(y \ge 1 \Rightarrow 2\left( {x + y} \right)xy + xy - 1 \ge 0\)( dấu “=” khi \(x = y = 1\))

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;1} \right)\)

Chọn A.