Cho một cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Gọi d là công sai của cấp số cộng trên, sử dụng công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng \({S_n} = \frac{{\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d}\right].n}}{2}\) tìm d.

+) Viết công thức của SHTQ của CSC.

+) Tính \(\frac{1}{{{u_k}{u_{k + 1}}}}\), rút gọn sau đó tính S.

Giải chi tiết:

Gọi d là công sai của cấp số cộng trên ta có:

\({S_n} = \frac{{\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right].n}}{2} \Rightarrow {S_{100}} = \frac{{\left( {2 + 99d} \right).100}}{2} = 10000 \Rightarrow d = 2\).

Khi đó ta có số hạng tổng quát của cấp số cộng là \({u_n} = 1 + \left( {n - 1} \right).2 = 2n - 1\).

Xét \({u_k}{u_{k + 1}} = \frac{1}{{\left( {2k - 1} \right)\left( {2k + 1} \right)}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{2k - 1}} - \frac{1}{{2k + 1}}} \right)\). Khi đó ta có:

 \(\begin{array}{l}S = \frac{1}{2}\left( {1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + ... + \frac{1}{{197}} - \frac{1}{{199}}} \right)\\\Rightarrow S = \frac{1}{2}\left( {1 - \frac{1}{{199}}} \right) = \frac{{99}}{{199}}\end{array}\).

Vậy \(S = \frac{{99}}{{199}}\).