Cho

B

- Hướng dẫn giải

Đáp án B

Từ giả thiết

$$\begin{gathered} \frac{{2017}^{1-y}}{{2017}^x}=\frac{x^2+2018}{{\left(1-y\right)}^2+2018} \\ \iff {2017}^{1-y}\left[{\left(1-y\right)}^2+2018\right]={2017}^x\left(x^2+2018\right)\left(*\right) \end{gathered}$$ 

Xét hàm số $f\left(t\right)={2017}^t\left(t^2+2018\right)$ với $t\in \left[0;1\right]$ 

$\Rightarrow f\text{'}\left(t\right)={2017}^t\ln 2017\left(t^2+2018\right)+2t{.2017}^t>0$ 

$\Rightarrow f\left(t\right)$đồng biến trên $\left[0;1\right].$ Do đó (*) $\iff 1-y=x\iff x+y=1.$

Ta có: $0\le xy\le \frac{{\left(x+y\right)}^2}{4}=\frac{1}{4}.$ Đặt $m=xy\in \left[0;\frac{1}{4}\right].$Khi đó :

$S=16x^2{y}^2+34xy+12\left(y+x\right)\left[{\left(y+x\right)}^2-3xy\right]=16m^2-2m+12=g\left(m\right)$ 

Xét hàm $g\left(m\right)$ trên đoạn

$\left[0;\frac{1}{4}\right]\Rightarrow g\text{'}\left(m\right)=32m-2\to g\text{'}\left(m\right)=0\iff m=\frac{1}{16}$ 

Lúc này

$$\begin{gathered} g\left(0\right)=12,g\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{25}{2},g\left(\frac{1}{16}\right)=\frac{191}{16} \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}M=\frac{25}{2}\\ m=\frac{191}{16}\end{array}\right.\Rightarrow M+m=\frac{391}{16}. \end{gathered}$$