Để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt:

- Hướng dẫn giải

Phương trình đã cho tương đương:

Phương trình (1) trở thành: $2\left|t+4-a\right|=t\left(2\right)$

Phương trình (2) $\iff \left\{\begin{array}{c}t\ge 0\\ \left[\begin{array}{c}t=2a-8\\ t=\frac{2a-8}{3}\end{array}\right.\end{array}\right.$ để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt thì điều kiện cần là (2) phải có 2 nghiệm phân biệt, tức là $2a-8>0\iff a>4\left(*\right)$

Khi đó, thay lại ta có: $\left[\begin{array}{c}{x}^2-5x+a=2a-8\\ 3x^2-15x+3a=2a-8\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}{x}^2-5x+8-a=0\left(3\right)\\ 3x^2-15x+a+8=0\left(4\right)\end{array}\right.$

Điều kiện để (1) có 4 nghiệm phân biệt là mỗi phương trình bậc 2 ở trên có 2 phân biệt và 2 nghiệm của (3) không thỏa mãn (4)

Mỗi phương trình (3), (4) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

$\left\{\begin{array}{c}{\Delta }_1=25-4\left(8-a\right)>0\\ {\Delta }_2={15}^2-4.3\left(a+8\right)>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}a>\frac{7}{4}\\ a<\frac{43}{4}\end{array}\iff \frac{7}{4}<a<\frac{43}{4}\right.$

Nếu x là nghiệm của (3) thì không thỏa mãn (4)

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}{x}^2-5x+8-a=0\\ 3x^2-15x+a+8\ne 0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}{x}^2-5x+8-a=0\\ 3\left(x^2-5x+8-a\right)-16+4a\ne 0\end{array}\right.$

$\Rightarrow 4a-16\ne 0\iff a\ne 4$

So với điều kiện (*), suy ra $4<a<\frac{43}{4}$

Đáp án cần chọn là: C