Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R) với đườ...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Sử dụng công thức tính diện tích tam giác

\(\left\{ \begin{align}  & {{S}_{ADK}}=\frac{1}{2}AD.AK.\sin \widehat{DAK} \\  & {{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat{BAC} \\ \end{align} \right.\Rightarrow \frac{{{S}_{ADK}}}{{{S}_{ABC}}}=\frac{AD.AK}{AB.AC}\)

+) Sử dụng tam giác đồng dạng tính tích \(AB.AC\)

+) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính tích \(AD.AK\)

Giải chi tiết:

\(\begin{align}  & {{S}_{ADK}}=\frac{1}{2}AD.AK.\sin \widehat{DAK} \\  & {{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat{BAC} \\  & \Rightarrow \frac{{{S}_{ADK}}}{{{S}_{ABC}}}=\frac{AD.AK}{AB.AC} \\ \end{align}\)

Dựng đường kính AE của (O) ta có

góc ACE = góc AHB = 90^o

góc AEC = góc ABH (cùng chắn cung AC)

\(\begin{align}  & \Rightarrow \Delta ABH\backsim \Delta AEC\text{ }\left( g.g \right)\Rightarrow \frac{AB}{AE}=\frac{AH}{AC} \\  & \Rightarrow AB.AC=AE.AH=2R.R\sqrt{2}=2{{R}^{2}}\sqrt{2} \\ \end{align}\)

Các tam giác vuông AHB và AHC có D và K lần lượt là chân đường cao hạ từ đỉnh góc vuông nên ta có

\(\begin{align} & A{{H}^{2}}=AK.AC \\  & A{{H}^{2}}=AD.AB \\\end{align}\)

\(\begin{align}  & \Rightarrow A{{H}^{4}}=AD.AK.AB.AC\Rightarrow AD.AK=\frac{A{{H}^{4}}}{AB.AC}=\frac{{{\left( R\sqrt{2} \right)}^{4}}}{2{{R}^{2}}\sqrt{2}}={{R}^{2}}\sqrt{2} \\ & \Rightarrow \frac{{{S}_{ADK}}}{{{S}_{ABC}}}=\frac{AD.AK}{AB.AC}=\frac{{{R}^{2}}\sqrt{2}}{2{{R}^{2}}\sqrt{2}}=\frac{1}{2} \\\end{align}\)