Cho a, b, c là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Sử dụng tính đồng dư để làm bài toán, \(a\equiv b\,\,\left( \bmod n \right)\Leftrightarrow \left( a-b \right)\,\,\vdots \,\,n\)

Giải chi tiết:

+) Nếu \(a\ \vdots \ 2\) thì  \({{a}^{2014}}\ \vdots \ 2\) và \({{a}^{2016}}\ \vdots \ 2\).

+) Nếu a chia 2 dư 1 thì \({{a}^{2014}}\) chia 2 dư 1 và \({{a}^{2016}}\) chia 2 dư 1.

Do đó trong mọi trường hợp ta luôn có \({{a}^{2014}}\equiv {{a}^{2016}}\ \left( \bmod \ 2 \right).\)  

Tương tự ta có \({{b}^{2017}}\equiv {{b}^{2015}}\ \ \left( \bmod \ 2 \right)\) và \({{c}^{2018}}\equiv {{c}^{2016}}\ \ \left( \bmod \ 2 \right).\)

+) Nếu \(a\equiv 0\ \ \left( \bmod \ 3 \right)\) thì \({{a}^{2016}}\equiv {{a}^{2014}}\equiv 0\ \ \left( \bmod \ 3 \right).\)

+) Nếu \(a\equiv \pm 1\ \ \left( \bmod \ \ 3 \right)\) thì  \({{a}^{2}}\equiv 1\ \ \left( \bmod \ \ 3 \right)\Rightarrow {{a}^{2016}}={{a}^{2}}.{{a}^{2014}}\equiv {{a}^{2014\ }}\left( \bmod \ \ 3 \right).\)

+) Nếu \(a\equiv \pm 2\,\,\left( \bmod 3 \right)\Rightarrow {{a}^{2}}\equiv 1\,\,\left( \bmod 3 \right)\Rightarrow {{a}^{2016}}={{a}^{2}}.{{a}^{2014}}\equiv {{a}^{2014\ }}\left( \bmod \ \ 3 \right).\)

Do đó trong mọi trường hợp ta luôn có \({{a}^{2016}}\equiv {{a}^{2014}}\ \left( \bmod \ \ 3 \right);\ \ {{b}^{2017}}\equiv {{b}^{2015}}\ \ \left( \bmod \ \ 3 \right)\) và \({{c}^{2018}}\equiv {{c}^{2016}}\ \ \left( \bmod 3 \right).\)

Vậy\({a^{2014}} + {b^{2015}} + {c^{2016}} \vdots 6 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^{2014}} + {b^{2015}} + {c^{2016}} \vdots 2\\
{a^{2014}} + {b^{2015}} + {c^{2016}} \vdots 3
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^{2016}} + {b^{2017}} + {c^{2018}} \vdots 2\\
{a^{2016}} + {b^{2017}} + {c^{2018}} \vdots 3
\end{array} \right. \Rightarrow {a^{2016}} + {b^{2017}} + {c^{2018}} \vdots 6\)