Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Xác định góc giữa hai đường thẳng:

Cho a, b là hai đường thẳng bất kì, đường thẳng a’// a \(\Rightarrow \left( \widehat{a,b} \right)=\left( \widehat{a',b} \right)\)

Giải chi tiết:

Gọi O, M lần lượt là tâm của hình chữ nhật ABCD và trung điểm của SA

\(\Rightarrow MO\) là đường trung bình của tam giác SAC

\(\begin{align}  & \Rightarrow MO//SC \\& \Rightarrow (\widehat{BD,SC})=\left( \widehat{BD,MO} \right) \\\end{align}\)

+) ABCD là hình chữ nhật \(\Rightarrow AC=BD=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{(2a)}^{2}}}=a\sqrt{5}\).

\(\Rightarrow OA=OB=\frac{BD}{2}=\frac{a\sqrt{5}}{2}\).

+) M là trung điểm SA \(\Rightarrow MA=\frac{SA}{2}=\frac{2a}{2}=a\)

Tam giác MAB vuông tại A \(\Rightarrow MB=\sqrt{M{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}=a\sqrt{2}\)

Tam giác MAO vuông tại A \(\Rightarrow MO=\sqrt{M{{A}^{2}}+O{{A}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( \frac{a\sqrt{5}}{2} \right)}^{2}}}=\frac{3a}{2}\)

+) Xét tam giác MBO:  \(\cos \widehat{MOB}=\frac{M{{O}^{2}}+O{{B}^{2}}-M{{B}^{2}}}{2.MO.OB}=\frac{{{\left( \frac{3a}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a\sqrt{5}}{2} \right)}^{2}}-{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}}{2.\frac{3a}{2}.\frac{a\sqrt{5}}{2}}=\frac{\sqrt{5}}{5}>0\Rightarrow \widehat{MOB}<{{90}^{0}}\)

\(\Rightarrow \widehat{MOB}=\left( \widehat{MO;BD} \right)\Rightarrow \cos \left( \widehat{SC;BD} \right)=\frac{\sqrt{5}}{5}\)

Chọn: C