Các nghiệm của phương trình \(2\left( 1+\cos x \ri...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đưa phương trình trên về phương trình tích sau đó giải phương trình và tìm các điểm biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác.

Giải chi tiết:

ĐK : \(\left\{ \begin{array}{l}\sin x + \cos x \ne 0\\\sin x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin x \ne  - \cos x\\\sin x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\tan x \ne  - 1\\x \ne k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne  - \frac{\pi }{4} + k\pi \\x \ne k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)\)

\(\begin{array}{l}2\left( {1 + \cos x} \right)\left( {1 + {{\cot }^2}x} \right) = \frac{{\sin x - 1}}{{\sin x + \cos x}}\\ \Leftrightarrow 2\left( {1 + \cos x} \right)\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} = \frac{{\sin x - 1}}{{\sin x + \cos x}}\\ \Leftrightarrow 2\left( {1 + \cos x} \right)\left( {\sin x + \cos x} \right) = \left( {\sin x - 1} \right)\left( {1 - \cos x} \right)\left( {1 + \cos x} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {1 + \cos x} \right)\left( {2\sin x + 2\cos x - \sin x + \sin x\cos x + 1 - \cos x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {1 + \cos x} \right)\left( {\sin x + \cos x + \sin x\cos x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 + \cos x = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\sin x + \cos x + \sin x\cos x + 1 = 0\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\\\left( 1 \right) \Leftrightarrow \cos x =  - 1 \Leftrightarrow x = \pi  + k2\pi \,\,\,\left( {ktm\,\,x \ne k\pi } \right)\end{array}\)

Giải (2) : Đặt \(\sin x+\cos x=t\,\,\left( t\ne 0;t\in \left[ -\sqrt{2};\sqrt{2} \right] \right)\Leftrightarrow {{t}^{2}}=1+2\sin x\cos x\Leftrightarrow \sin x\cos x=\frac{{{t}^{2}}-1}{2}\)

Thay vào (2) ta có : \(t+\frac{{{t}^{2}}-1}{2}+1=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}+2t+1=0\Leftrightarrow t=-1\,\,\left( tm \right)\)

Với t = - 1 ta có

\(\begin{array}{l}\sin x + \cos x =  - 1 \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) =  - 1 \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) =  - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \frac{\pi }{4} =  - \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x + \frac{\pi }{4} = \frac{{5\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = \pi  + k2\pi \,\,\left( {ktm\,\,x \ne k\pi } \right)\end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)\end{array}\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \,\,\left( k\in Z \right)\)

Có 1 điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác.

Chọn A.