Cho hình chóp \(S.\,ABCD\) có các cạnh bên bằng nh...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Xác định điểm K.

+) Tìm mặt phẳng (P) chứa SK và song song với AD, khi đó \(d\left( AD;SK \right)=d\left( AD;\left( P \right) \right)\).

+) Đưa về bài toàn khoảng cách từ chân đường vuông góc đến một điểm.

Giải chi tiết:

Ta có:

\(AD//BC\Rightarrow d\left( AD;SK \right)=d\left( AD;\left( SBC \right) \right)=d\left( A;\left( SBC \right) \right)\)

Gọi \(O=AC\cap BD\Rightarrow SO\bot \left( ABCD \right)\)

Khi đó \(d=d\left( A;\left( SBC \right) \right)=2d\left( O;\left( SBC \right) \right)\)

Dựng \(OE\bot BC;OF\bot SE\) ta có:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
BC \bot OE\\
BC \bot SO
\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SOE} \right) \Rightarrow BC \bot OF\\
\left\{ \begin{array}{l}
OF \bot BC\\
OF \bot SE
\end{array} \right. \Rightarrow OF \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right) = OF
\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{align} & OE=\frac{1}{2}AB=a \\  & OA=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\sqrt{{{\left( 2a \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}=\frac{a\sqrt{5}}{2} \\ & SO=\sqrt{S{{A}^{2}}-O{{A}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 2a \right)}^{2}}-{{\left( \frac{a\sqrt{5}}{2} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{11}}{2} \\ \end{align}\)

Suy ra \(d=2OF=2\frac{SO.OE}{\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{E}^{2}}}}=\frac{2a\sqrt{165}}{15}.\)

Chọn A.