Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD \Rightarrow \) I là giao điểm của ba mặt trung trực của 3 cạnh bất kì của tứ diện.

Giải chi tiết:

Gọi \(I,J\) và \(K\) lần lượt là trung điểm của \(AB,AC\) và \(AD\) ta có: \(I\left( {\frac{3}{2};1;\frac{3}{2}} \right),J\left( {2;0;\frac{3}{2}} \right),K\left( {\frac{3}{2};0;0} \right)\)

\(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1;0;3} \right);\overrightarrow {AC}  = \left( {0; - 2;3} \right),\overrightarrow {AD}  = \left( { - 1; - 2;0} \right)\)

Mặt phẳng trung trực của \(AB\) đi qua \(I\) và nhận \(\overrightarrow {AB} \) là 1 VTPT có phương trình:

\( - 1\left( {x - \frac{3}{2}} \right) + 3\left( {z - \frac{3}{2}} \right) = 0 \Leftrightarrow  - x + 3z - 3 = 0\,\,\left( 1 \right)\)

Mặt phẳng trung trực của \(AC\) đi qua \(J\) và nhận \(\overrightarrow {AC} \) là 1 VTPT có phương trình:

\( - 2y + 3\left( {z - \frac{3}{2}} \right) = 0 \Leftrightarrow  - 4y + 6z - 9 = 0\,\,\,\left( 2 \right)\)

Mặt phẳng trung trực của \(AD\) đi qua \(K\) và nhận \(\overrightarrow {AD} \) là 1 VTPT có phương trình:

\( - 1\left( {x - \frac{3}{2}} \right) - 2y = 0 \Leftrightarrow  - 2x - 4y + 3 = 0\,\,\,\,\left( 3 \right)\)

Từ (1), (2) và (3) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{3}{2}\\y = 0\\z = \frac{3}{2}\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {\frac{3}{2};0;\frac{3}{2}} \right)\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp \(\Delta ABC\)

\( \Rightarrow R = IA = \sqrt {{{\left( {\frac{3}{2} - 2} \right)}^2} + {{\left( {0 - 1} \right)}^2} + {{\left( {\frac{3}{2} - 0} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt {14} }}{2}\)

Chọn D.