Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho hình...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Gắn hệ trục tọa độ Oxyz, xác định tọa độ điểm và áp dụng công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng : \(d\left( AC;{B}'D \right)=\frac{\left| \overrightarrow{AD}.\left[\overrightarrow{AC};\overrightarrow{{B}'D} \right] \right|}{\left| \left[\overrightarrow{AC};\overrightarrow{{B}'D} \right] \right|}\).

Giải chi tiết:

Vì \(ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\) là hình lập phương \(\xrightarrow{{}}\,\,A\left( 0;0;0 \right),\,\,C\left( 1;1;0 \right),\,\,{B}'\left( 1;0;1 \right)\) và \(D\left( 0;1;0 \right).\)

Ta có \(\overrightarrow{AC}=\left( 1;1;0 \right),\,\,\overrightarrow{{B}'D}=\left( -\,1;1;-\,1 \right)\) suy ra \(\left[ \overrightarrow{AC};\overrightarrow{{B}'D} \right]=\left( -\,1;1;2 \right).\)

Do đó \(d\left( AC;{B}'D \right)=\frac{\left| \overrightarrow{AD}.\left[ \overrightarrow{AC};\overrightarrow{{B}'D} \right] \right|}{\left| \left[ \overrightarrow{AC};\overrightarrow{{B}'D} \right] \right|}=\frac{\left| 0.\left( -\,1 \right)+1.1+0.2 \right|}{\sqrt{{{\left( -\,1 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}+{{2}^{2}}}}=\frac{1}{\sqrt{6}}.\)

Chọn D