Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông gó...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính đường cao của 1 hình chóp có SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau thì đường cao là: \({1 \over {{h^2}}} = {1 \over {S{A^2}}} + {1 \over {S{B^2}}} + {1 \over {S{C^2}}},\) cũng chính là chiều cao của chóp S.AB’C’.

Chứng minh tam giác AB’C’ đều và áp dụng công thức diện tích tam giác đều cạnh a: \(S = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}.\)

Giải chi tiết:

Ta có: \(AB = BC = AC = a\sqrt 2  \Rightarrow \Delta ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\sqrt 2 \)

Công thức tính đường cao của 1 hình chóp có SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau thì đường cao là : \({1 \over {{h^2}}} = {1 \over {S{A^2}}} + {1 \over {S{B^2}}} + {1 \over {S{C^2}}} = {1 \over {{a^2}}} + {1 \over {{a^2}}} + {1 \over {{a^2}}} \Rightarrow h = {{\sqrt 3 } \over 3}a\)

Tam giác SAC và SAB đều là tam giác cân tại S nên B’ C’ lần lượt là trung điểm của AB và AC.

\( \Rightarrow AB' = AC' = B'C' = {{a\sqrt 2 } \over 2} \Rightarrow \Delta AB'C'\) là tam giác đều cạnh \({{a\sqrt 2 } \over 2} \Rightarrow {S_{AB'C'}} = {\left( {{{a\sqrt 2 } \over 2}} \right)^2}{{\sqrt 3 } \over 4} = {{\sqrt 3 } \over 8}{a^2}.\)

\( \Rightarrow {V_{S.AB'C'}} = {1 \over 3}h.{S_{AB'C'}} = {1 \over 3}.{{a\sqrt 3 } \over 3}.{{{a^2}\sqrt 3 } \over 8} = {{{a^3}} \over {24}}.\)

Chọn D.