Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai đ...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Gọi I là trung điểm của AB, phân tích \({{\overrightarrow{MA}}^{2}}+{{\overrightarrow{MB}}^{2}}={{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}+{{\left( \overrightarrow{M}I+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}\), chứng minh độ dài IM không đổi, từ đó suy ra quỹ tích điểm M.

Giải chi tiết:

Gọi \(I\left( -1;-1;-4 \right)\) là trung điểm của AB, \(A{{B}^{2}}=24\Rightarrow I{{A}^{2}}=I{{B}^{2}}=\frac{A{{B}^{2}}}{4}=6\).

Khi đó \(A{{M}^{2}}+B{{M}^{2}}=30\)

Suy ra \({{\overrightarrow{MA}}^{2}}+{{\overrightarrow{MB}}^{2}}={{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}+{{\left( \overrightarrow{M}I+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}=30\)

\(2M{{I}^{2}}+I{{A}^{2}}+I{{B}^{2}}+2\overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB} \right)=30\Leftrightarrow 2M{{I}^{2}}=30-6-6\Leftrightarrow MI=3.\,\,\,\left( \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0} \right)\)

Do đó mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\left( -1;-1;-4 \right);R=3\).

Đáp án C.