Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc khoảng (-9; 9) c...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Bất phương trình \(m\ge f(x),\,\,x\in D\)có nghiệm khi và chỉ khi \(m\ge \underset{D}{\mathop{Min}}\,f(x)\).

Giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(0<x<1\)

\(3\log x\le 2\log \left( m\sqrt{x-{{x}^{2}}}-(1-x)\sqrt{1-x} \right)\Leftrightarrow m\sqrt{x-{{x}^{2}}}-(1-x)\sqrt{1-x}\ge x\sqrt{x}\Leftrightarrow m\ge \frac{x\sqrt{x}+(1-x)\sqrt{1-x}}{\sqrt{x-{{x}^{2}}}},\,\,x\in \left( 0;1 \right)\)

Để bất phương trình đã cho có nghiệm thực thì \(m\ge \underset{\left( 0;1 \right)}{\mathop{Min}}\,f(x)\,,\,\,f(x)=\frac{x\sqrt{x}+(1-x)\sqrt{1-x}}{\sqrt{x-{{x}^{2}}}}\)

Xét \(f(x)=\frac{x\sqrt{x}+(1-x)\sqrt{1-x}}{\sqrt{x-{{x}^{2}}}}=\frac{\left( \sqrt{x}+\sqrt{1-x} \right)\left( 1-\sqrt{x\left( 1-x \right)} \right)}{\sqrt{x\left( 1-x \right)}}\) , \(x\in \left( 0;1 \right)\)

Đặt \(t=\sqrt{x}+\sqrt{1-x},\,\,t\in \left( 1;\sqrt{2} \right]\)

Khi đó, \(f(x)=\frac{\left( \sqrt{x}+\sqrt{1-x} \right)\left( 1-\sqrt{x\left( 1-x \right)} \right)}{\sqrt{x\left( 1-x \right)}}=\frac{t\left( 1-\frac{{{t}^{2}}-1}{2} \right)}{\frac{{{t}^{2}}-1}{2}}=\frac{t(3-{{t}^{2}})}{{{t}^{2}}-1}=\frac{3t-{{t}^{3}}}{{{t}^{2}}-1}=g(t)\)\(g'(t)=\frac{-{{t}^{4}}-3}{{{({{t}^{2}}-1)}^{2}}}<0,\,\,\forall t\in \left( 1;\sqrt{2} \right]\)

\(\Rightarrow g{{(t)}_{\min }}=g(\sqrt{2})=\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{2}}{2-1}=\sqrt{2}\Rightarrow \underset{\left( 0;1 \right)}{\mathop{Min}}\,f(x)\,=\sqrt{2}\) \(\Rightarrow m\ge \sqrt{2}\)

Mà \(m\in \left( -9;9 \right)\Rightarrow m\in \left\{ 2;3;4;..;8 \right\}\Rightarrow \)Có 7 giá trị của m thỏa mãn.

Chọn: B