Cho hàm số \(y = {\left| x \right|^3} - 3{x^2} + 1...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Gọi phương trình tiếp tuyến và sử dụng điều kiện tiếp xúc

Giải chi tiết:

Ta có: \(f\left( { - x} \right) = \left| {{{\left( { - x} \right)}^3}} \right| - 3{\left( { - x} \right)^2} + 1 = \left| {{x^3}} \right| - 3{x^2} + 1 = f\left( x \right) \Rightarrow f\left( x \right)\)  là hàm chẵn.

Vì hàm số đã cho là hàm số chẵn nên đồ thị \(\left( C \right)\) của nó đối xứng qua \(Oy\). Do đó từ điểm \(A\) trên trục \(Oy\) nếu kẻ được một tiếp tuyến \(d\) đến \(\left( C \right)\) thì ảnh của \(d\) qua phép đối xứng trục \(Oy\) cũng là một tiếp tuyến của \(\left( C \right)\).

Vậy để qua điểm \(A\) trên trục \(Oy\) có thể kẻ đến \(\left( C \right)\) đúng ba tiếp tuyến thì điều kiện cần là có một tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) qua \(A\) mà tiếp tuyến này vuông góc với \(Oy\), tức là tiếp tuyến này có hệ số góc bằng \(0\).

Ta có: \(y = \left\{ \begin{array}{l}
{x^3} - 3{x^2} + 1{\rm{ }}\,\,\,\,\,{\rm{khi }}\,\,\,x \ge 0\\
- {x^3} - 3{x^2} + 1{\rm{ }}\,\,{\rm{khi }}\,\,\,x < 0
\end{array} \right. \Rightarrow y' = \left\{ \begin{array}{l}
3{x^2} - 6x{\rm{ }}\,\,\,\,\,{\rm{khi }}\,\,\,x > 0\\
- 3{x^2} - 6x{\rm{ }}\,\,{\rm{khi }}\,\,x < 0
\end{array} \right..\)

Mặt khác: \(\left\{ \begin{array}{l}
y'\left( {{0^ + }} \right) = 0\\
y'\left( {{0^ - }} \right) = 0
\end{array} \right. \Rightarrow y'\left( 0 \right) = 0.\)

Lại có: \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x > 0\\
3{x^2} - 6x = 0
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x < 0\\
- 3{x^2} - 6x = 0
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2\;\;\; \Rightarrow y\left( 2 \right) = - 3.\\
x = - 2\;\; \Rightarrow y\left( { - 2} \right) = - 3.
\end{array} \right.\)

Từ đó ta thấy có hai tiếp tuyến có hệ số góc bằng \(0\) là \(d & :y = 1\) và \(d':y =  - 3\). Và \(d\) cắt \(Oy\) tại \(A = \left( {0;1} \right)\), \(d'\) cắt \(Oy\) tại \(A' = \left( {0; - 3} \right)\).

Ta viết phương trình các tiếp tuyến kẻ từ \(A = \left( {0;1} \right)\) đến nhánh bên phải \(Oy\) của \(\left( C \right)\).

 Xét hệ phương trình:  \(\left\{ \begin{array}{l}
k = 3{x^2} - 6x\\
{x^3} - 3{x^2} + 1 = kx + 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
k = 0
\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{3}{2}\\
k = - \frac{9}{4}
\end{array} \right.\)

Vậy từ \(A = \left( {0;1} \right)\) kẻ được hai tiếp tuyến đến nhánh bên phải \(Oy\) của \(\left( C \right)\), trong đó có một tiếp tuyến vuông góc với \(Oy\) và một tiếp tuyến không vuông góc với \(Oy\). Suy ra từ \(A = \left( {0;1} \right)\) kẻ được \(3\) tiếp tuyến đến \(\left( C \right)\).

Ta viết phương trình các tiếp tuyến kẻ từ \(A' = \left( {0; - 3} \right)\) đến nhánh bên phải \(Oy\) của \(\left( C \right)\).

Xét hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}k = 3{x^2} - 6x\\{x^3} - 3{x^2} + 1 = kx - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\k = 0\end{array} \right.\).

Vậy từ \(A' = \left( {0; - 3} \right)\) kẻ được một tiếp tuyến duy nhất đến nhánh bên phải \(Oy\) của \(\left( C \right)\) mà tiếp tuyến này vuông góc với \(Oy\). Suy ra từ \(A' = \left( {0; - 3} \right)\) kẻ được một tiếp tuyến duy nhất đến \(\left( C \right)\).

Vậy \(A = \left( {0;1} \right)\) là điểm duy nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn C