Biết điều kiện cần và đủ của \(m\) để phương trìn...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ, đưa về phương trình cô lập tham số m, biện luận số nghiệm theo giá trị tham số

Giải chi tiết:

Điều kiện: \(x>2\).

Phương trình tương đương với: \(4\log _{2}^{2}\left( x-2 \right)+4\left( m-5 \right){{\log }_{2}}\left( x-2 \right)-8m-4=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right).\)

Đặt \({{\log }_{2}}\left( x-2 \right)=t\) với \(x\in \left[ \frac{5}{2};4 \right]\Rightarrow t\in \left[ -1;1 \right],\) khi đó:

\(\begin{align} & \left( 1 \right)\Leftrightarrow 4{{t}^{2}}+4\left( m-5 \right)t-8m-4=0 \\& \Leftrightarrow 4{{t}^{2}}+4mt-20t-8m-4=0 \\& \Leftrightarrow {{t}^{2}}-5t-1=m\left( 2-t \right) \\& \Leftrightarrow \,\,m=\frac{{{t}^{2}}-5t-1}{2-t}. \\\end{align}\)

Xét hàm \(f\left( t \right)=\frac{{{t}^{2}}-5t-1}{2-t}\)

Ta có: \({f}'\left( t \right)=\frac{-\,{{t}^{2}}+4t-11}{{{\left( 2-t \right)}^{2}}}<0;\forall t\in \left[ -1;1 \right]\)

Từ bảng biến thiên \(\Rightarrow \) Yêu cầu bài toán \(\Leftrightarrow \)\(\frac{5}{3}\ge m\ge -\,5.\) Vậy \(\left\{ \begin{align} & a=-\,5 \\& b=\frac{5}{3} \\\end{align} \right.\Rightarrow \,\,a+b=-5+\frac{5}{3}=-\,\frac{10}{3}.\)

Chọn D