Đường thẳng \(y={{m}^{2}}\) cắt đồ thị của hàm số...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

 Viết phương trình hoành độ giao điểm, tìm tọa độ hai điểm A, B và sử dụng điều kiện tam giác vuông

Giải chi tiết:

 Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( C \right)\) và \(\left( d \right)\) là \({{x}^{4}}-{{x}^{2}}-{{m}^{2}}-10=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right).\)

Đặt \(t={{x}^{2}}\ge 0,\) khi đó \(\left( * \right)\Leftrightarrow \,\,{{t}^{2}}-t-{{m}^{2}}-10=0\) có \(ac=-{{m}^{2}}-10<0\Rightarrow \) phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \({{t}_{1}},\,\,{{t}_{2}}\) trái dấu.

Khi đó \(A\left( \sqrt{\frac{1+\sqrt{4{{m}^{2}}+41}}{2}};{{m}^{2}} \right),\,\,B\left( -\,\sqrt{\frac{1+\sqrt{4{{m}^{2}}+41}}{2}};{{m}^{2}} \right)\).

Tam giác \(OAB\) vuông tại \(O\Leftrightarrow \,\,\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=0\) \(-\frac{1+\sqrt{4{{m}^{2}}+41}}{2}+{{m}^{4}}=0\Leftrightarrow \,\,2{{m}^{4}}=1+\sqrt{4{{m}^{2}}+41}\Leftrightarrow \,\,\sqrt{4a+41}=2{{a}^{2}}-1\) (với \(a={{m}^{2}}\))

\(\Rightarrow \,\,a={{m}^{2}}=2.\)

Chọn C