Đường thẳng $y={{m}^{2}}$ cắt đồ thị của hàm số...

Đường thẳng $y={{m}^{2}}$ cắt đồ thị của hàm số $y={{x}^{4}}-{{x}^{2}}-10$ tại hai điểm $A,B$ sao cho tam giác $OAB$ vuông ( $O$ là gốc tọa độ). Mệnh đề nào sau đây đúng ?

${{m}^{2}}\in \left( 5;7 \right).$

${{m}^{2}}\in \left( 3;5 \right).$

${{m}^{2}}\in \left( 1;3 \right).$

${{m}^{2}}\in \left( 0;1 \right).$

Đáp án

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Viết phương trình hoành độ giao điểm, tìm tọa độ hai điểm A, B và sử dụng điều kiện tam giác vuông

Giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( C \right)$ và $\left( d \right)$ là ${{x}^{4}}-{{x}^{2}}-{{m}^{2}}-10=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right).$

Đặt $t={{x}^{2}}\ge 0,$ khi đó $\left( * \right)\Leftrightarrow \,\,{{t}^{2}}-t-{{m}^{2}}-10=0$ có $ac=-{{m}^{2}}-10<0\Rightarrow$ phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt ${{t}_{1}},\,\,{{t}_{2}}$ trái dấu.

Khi đó $A\left( \sqrt{\frac{1+\sqrt{4{{m}^{2}}+41}}{2}};{{m}^{2}} \right),\,\,B\left( -\,\sqrt{\frac{1+\sqrt{4{{m}^{2}}+41}}{2}};{{m}^{2}} \right)$ .

Tam giác $OAB$ vuông tại $O\Leftrightarrow \,\,\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=0$ $-\frac{1+\sqrt{4{{m}^{2}}+41}}{2}+{{m}^{4}}=0\Leftrightarrow \,\,2{{m}^{4}}=1+\sqrt{4{{m}^{2}}+41}\Leftrightarrow \,\,\sqrt{4a+41}=2{{a}^{2}}-1$ (với $a={{m}^{2}}$ )