Tổng các nghiệm của phương trình \({{\left( 2+\sqr...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt \({{(2+\sqrt{3})}^{x}}=t,\,\,t>0\). Do \({{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{x}}{{\left( 2-\sqrt{3} \right)}^{x}}={{1}^{x}}=1\Rightarrow {{\left( 2-\sqrt{3} \right)}^{x}}=\frac{1}{t}\) . Thay vào phương trình ban đầu và giải phương trình ẩn t.

Giải chi tiết:

Đặt \({{(2+\sqrt{3})}^{x}}=t,\,\,t>0\) \(\Rightarrow {{\left( 2-\sqrt{3} \right)}^{x}}=\frac{1}{t}\) .  Phương trình đã cho trở thành:

\(t+\frac{1}{t}=14\Leftrightarrow {{t}^{2}}-14t+1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  t=7+4\sqrt{3} \\  t=7-4\sqrt{3} \\ \end{align} \right.\)

\(t=7+4\sqrt{3}\Rightarrow {{(2+\sqrt{3})}^{x}}=7+4\sqrt{3}={{(2+\sqrt{3})}^{2}}\Rightarrow x=2\)

\(t=7-4\sqrt{3}\Rightarrow {{(2+\sqrt{3})}^{x}}=7-4\sqrt{3}={{(2-\sqrt{3})}^{2}}\Rightarrow x=-2\)

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho \(S=\left\{ -2;2 \right\}\). Tổng các nghiệm của phương trình là: \((-2)+2=0\).

Chọn: D