Cho \(\Delta ABC\) có trọng tâm \(G,\,\,H\) là điể...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

1. Ta có: \(\overrightarrow {AH}  + \overrightarrow {AB}  = 2\overrightarrow {AG} \)  (quy tắc cộng hình bình hành)

Lại có: \(\overrightarrow {AG}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {AM}  = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right).\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {AH}  + \overrightarrow {AB}  = 2\overrightarrow {AG}  = \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right)\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AH}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {AC}  - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} .\end{array}\)

Tương tự ta có: \(\overrightarrow {CH}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {CA}  - \frac{1}{3}\overrightarrow {CB}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {CA}  - \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{1}{3}\overrightarrow {CA}  - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  =  - \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right).\)

2. Ta có: \(\overrightarrow {MH}  = \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {CH}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CH}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}  - \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right)\,\, =  - \frac{5}{6}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} .\)

Vậy \(\overrightarrow {MH}  =  - \frac{5}{6}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} .\)