Cho tứ diện \(OABC\) có \(OA,\ OB,\ OC\) đôi một v...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp đặt hệ trục tọa độ để giải bài toán.

Giải chi tiết:

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ có: \(O\left( 0;\ 0;\ 0 \right),\ A\left( 0;\ 0;\ a \right),\ B\left( 2a;\ 0;\ 0 \right),\ C\left( 0;\ 2a;\ 0 \right).\)

\(M\) là trung điểm của \(BC\Rightarrow M\left( a;\ a;\ 0 \right).\)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {2a;\;0; - a} \right),\;\overrightarrow {OM} = \left( {a;\;a;\;0} \right),\;\overrightarrow {AM} = \left( {a;\;a;\; - a} \right).\\
\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\;\overrightarrow {OM} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
0&{ - a}\\
a&0
\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - a}&{2a}\\
0&a
\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{2a}&0\\
a&a
\end{array}} \right|} \right) = \left( {{a^2};\; - {a^2};\;2{a^2}} \right).\\
\Rightarrow d\left( {AB,\;OM} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\;\overrightarrow {OM} } \right].\overrightarrow {AM} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\;\overrightarrow {OM} } \right]} \right|}} = \frac{{\left| {{a^3} - {a^3} - 2{a^3}} \right|}}{{\sqrt {6{a^4}} }} = \frac{{2{a^3}}}{{{a^2}\sqrt 6 }} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}.
\end{array}\)

Chọn D.