Tính tổng tất cả \(T\)các nghiệm thuộc đoạn \(\lef...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nhân đôi \(\cos 2x = 2{\cos ^2}x - 1\).

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\cos 2x - 3\cos x - 4 = 0 \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 1 - 3\cos x - 4 = 0\\ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 3\cos x - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = \dfrac{5}{2} > 1\,\,\left( {ktm} \right)\\\cos x =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \pi  + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

\(x \in \left[ {0;200\pi } \right] \Leftrightarrow 0 \le \pi  + 2k\pi  \le 200\pi  \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{2} \le k \le \dfrac{{199}}{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Rightarrow k \in \left\{ {0;1;2;...;99} \right\}\).

\( \Rightarrow \) Tổng các nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán là:

\(T = \pi  + \left( {\pi  + 2\pi } \right) + \left( {\pi  + 4\pi } \right) + ... + \left( {\pi  + 198\pi } \right) = 100\pi  + 2\pi \left( {1 + 2 + ... + 99} \right) = 100\pi  + 2\pi .\dfrac{{99.100}}{2} = 10000\pi \)

Chọn A.