Biết  \(\int\limits_1^2 {\dfrac{{xdx}}{{\left( {x...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giả sử \(x = m\left( {x + 1} \right) + n\left( {2x + 1} \right),\forall x\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 = m + 2n\\0 = m + n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n = 1\\m =  - 1\end{array} \right.\)

Khi đó, \(\dfrac{x}{{\left( {x + 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}} = \dfrac{{ - \left( {x + 1} \right) + \left( {2x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}} =  - \dfrac{1}{{2x + 1}} + \dfrac{1}{{x + 1}}\).

Giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\int\limits_1^2 {\dfrac{{xdx}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}}}  = \int\limits_1^2 {\left( { - \dfrac{1}{{2x + 1}} + \dfrac{1}{{x + 1}}} \right)dx} \\ = \left. {\left( { - \dfrac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} \right| + \ln \left| {x + 1} \right|} \right)} \right|_1^2 = \left( { - \dfrac{1}{2}\ln 5 + \ln 3} \right) - \left( { - \dfrac{1}{2}\ln 3 + \ln 2} \right)\\ =  - \dfrac{1}{2}\ln 5 + \dfrac{3}{2}\ln 3 - \ln 2 = a\ln 2 + b\ln 3 + c\ln 5\\ \Rightarrow a =  - 1;b = \dfrac{3}{2};c =  - \dfrac{1}{2} \Rightarrow S = a + b + c = 0.\end{array}\)

Chọn: B