Trong không gian với hệ trục toạ độ \(Oxyz,\)gọi \...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Gọi VTPT của \(\left( P \right)\) là \(\overrightarrow n  = \left( {a;b;c} \right)\).

+) Tìm mối quan hệ của \(a,b,c\) dựa vào điều kiện \(d \subset \left( P \right)\).

+) Viết công thức tính \(\sin \alpha \) với \(\alpha \) là góc tạo bởi \(Oy\) và \(\left( P \right)\).

+) Đánh giá GTLN của \(\sin \alpha \) suy ra \(a,b,c\).

+) Viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) và kết luận.

Giải chi tiết:

Gọi VTPT của \(\left( P \right)\) là \(\overrightarrow n  = \left( {a;b;c} \right)\). Đường thẳng \(d\) có VTCP \(\overrightarrow u  = \left( {1; - 1; - 2} \right)\).

Do \(d \subset \left( P \right) \Rightarrow \overrightarrow u  \bot \overrightarrow n  \Leftrightarrow \overrightarrow u .\overrightarrow n  = 0\)\( \Leftrightarrow a - b - 2c = 0 \Leftrightarrow a = b + 2c\).

Trục \(Oy\) nhận \(\overrightarrow j  = \left( {0;1;0} \right)\) làm VTCP nên \(\sin \alpha  = \dfrac{{\left| {k.\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow k } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \dfrac{{\left| b \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\) với \(\alpha  = \widehat {\left( {Oy,\left( P \right)} \right)}\).

Thay \(a = b + 2c\) vào \(\sin \alpha \) ta được : \(\sin \alpha  = \dfrac{{\left| b \right|}}{{\sqrt {{{\left( {b + 2c} \right)}^2} + {b^2} + {c^2}} }} = \dfrac{{\left| b \right|}}{{\sqrt {2{b^2} + 4bc + 5{c^2}} }}\).

+) Nếu \(b = 0\) thì \(\sin \alpha  = 0 \Rightarrow \alpha  = 0\) là góc nhỏ nhất nên loại.

+) Nếu \(b \ne 0\) thì \({\sin ^2}\alpha  = \dfrac{{{b^2}}}{{2{b^2} + 4bc + 5{c^2}}}\)\( = \dfrac{1}{{2 + 4.\dfrac{c}{b} + 5.{{\left( {\dfrac{c}{b}} \right)}^2}}}\)

Lại có : \(5.{\left( {\dfrac{c}{b}} \right)^2} + 4.\dfrac{c}{b} + 2 = 5\left[ {{{\left( {\dfrac{c}{b}} \right)}^2} + 2.\dfrac{2}{5}.\dfrac{c}{b} + \dfrac{4}{{25}}} \right] + \dfrac{6}{5}\)\( = 5{\left( {\dfrac{c}{b} + \dfrac{2}{5}} \right)^2} + \dfrac{6}{5} \ge \dfrac{6}{5}\)

Do đó \(\dfrac{1}{{2 + 4.\dfrac{c}{b} + 5.{{\left( {\dfrac{c}{b}} \right)}^2}}} \le \dfrac{1}{{\dfrac{6}{5}}} = \dfrac{5}{6}\) hay \({\sin ^2}\alpha  \le \dfrac{5}{6} \Rightarrow \sin \alpha  \le \dfrac{{\sqrt {30} }}{6}\).

Vậy \(\sin \alpha \) đạt GTLN bằng \(\dfrac{{\sqrt {30} }}{6}\) khi \(\dfrac{c}{b} =  - \dfrac{2}{5}\).

Chọn \(c =  - 2,b = 5 \Rightarrow a = 1\)\( \Rightarrow \overrightarrow n  = \left( {1;5; - 2} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa \(d\) nên đi qua \(A\left( {1; - 2;0} \right)\)\( \Rightarrow \left( P \right):1\left( {x - 1} \right) + 5\left( {y + 2} \right) - 2\left( {z - 0} \right) = 0\) hay \(\left( P \right):x + 5y - 2z + 9 = 0\).

Quan sát các đáp án ta thấy điểm \(N\left( { - 1; - 2; - 1} \right)\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Chọn C