Cho tam giác ABC có AB...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Chứng minh 2 tam giác bằng nhau theo trường hợp c – g – c, suy ra cặp cạnh tương ứng tỉ lệ là điều phải chứng minh.

b) Chứng minh 2 tam giác bằng nhau theo trường hợp g – c – g, dựa vào kết quả của câu a.

c) Từ tính chất của tam giác cân chứng minh cặp góc so le trong bằng nhau \(\to B\text{D}\parallel EC\)

d) Chứng minh tam giác DIC cân tại D, từ đó suy ra BI = DC, để chứng minh yêu cầu của bài toán.

Giải chi tiết:

a) Xét tam giác ABI và tam giác ADI ta có:

\(\angle BAI=\angle DAI\) (theo giả thiết)

\(AB=A\text{D}\) (theo giả thiết)

 AI: chung

\(\Rightarrow \Delta ABI=\Delta A\text{D}I\ \ (c-g-c)\)

\(\Rightarrow BI=ID\) (2 cạnh tương ứng) (đpcm)

b) Vì \(\Delta ABI=\Delta A\text{D}I\ (c-g-c)\) nên:

            \(\angle ABI=\angle A\text{D}I\) (2 góc tương ứng)  (1)

Mà: \(\angle ABE=\angle A\text{D}C={{180}^{0}}\) (2 góc bẹt)     (2)

Từ (1) và (2) ta có: \(\angle ABE-\angle ABI=\angle A\text{D}C-\angle ADI\Leftrightarrow \angle IBE=\angle IDC\)

Xét \(\Delta IBE\) và \(\Delta IDC\) ta có:

 \(\angle IBE=\angle I\text{D}C\) (chứng minh trên)

 \(\angle BIE=\angle DIC\) (2 góc đối đỉnh)

\(BI=I\text{D}\) (chứng minh trên)

\(\Rightarrow \Delta IBE=\Delta I\text{D}C\ (g-c-g)\) (đpcm)        

c) Ta có: BI = ID (chứng minh trên) \(\Rightarrow \Delta BI\text{D}\) cân tại  \(I\Rightarrow \angle IBD=\angle IDB\) (tính chất của tam giác cân)           (1)

Ta lại có: \(\Delta IBE=\Delta I\text{D}C\ (g-c-g)\) (chứng minh trên) \(\Rightarrow IE=IC\) (2 cạnh tương ứng) \(\Rightarrow \Delta IEC\) cân tại I

\(\Rightarrow \angle IEC=\angle ICE\) (tính chất của tam giác cân) (2)

Xét 2 tam giác \(\Delta IEC\) và \(\Delta IBD\) ta có:

\(\angle BID=\angle EIC\) (2 góc đối đỉnh)               

\(\angle IBD+\angle IDB+\angle BID=\angle IEC+\angle IC\text{E}+\angle EIC={{180}^{0}}\) (Tổng 3 góc của một tam giác bằng 180⁰)        (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có: \(2\angle I\text{D}B+\angle BI\text{D}=2\angle IEC+\angle EIC\)

\(\Rightarrow \angle I\text{D}B=\angle IEC\ \ hay\ \ \angle E\text{D}B=\angle DEC\) (cặp góc so le trong bằng nhau)

\(\Rightarrow B\text{D}\parallel EC\) (đpcm)

d)  Ta có \(\Delta IBE=\Delta I\text{D}C\ (g-c-g)\)(chứng minh trên)

\(\Rightarrow \angle BEI=\angle DCI\) (2 góc tương ứng)

Lại có: \(\angle BIE=\angle DIC\) (2 góc đối đỉnh)  

\(\Rightarrow \angle BEI+\angle BIE=\angle DCI+\angle DIC\)                   (*)

Xét tam giác BIE ta có:

\(\angle ABC=\angle BIE+\angle BEI\) (góc ngoài của 1 tam giác bằng tổng 2 góc trong không kề với nó)           (**)

Từ (*) và (**) ta có: \(\angle ABC=\angle DCI+\angle DIC\) hay \(\angle ABC=\angle ACB+\angle DIC\)

Theo giả thiết, ta có:  \(\angle ABC=2\angle ACB\)

\(\Rightarrow \angle DCI=\angle DIC\Rightarrow \Delta DIC\) cân tại  \(D\Rightarrow DI=DC\)

Vì BI = ID (chứng minh trên) nên BI = DC.

\(\Rightarrow \) AC = AD + DC = AB + BI (đpcm)