Giải phương trình nghiệm nguyên dương \({x^3} + 3{...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xét tính chia hết của \(x\) với 3 rồi đặt \(x = 3{x_1}\)

Thay vào biểu thức ban đầu rồi tìm tính chia hết của y.z rồi kết luận.

Giải chi tiết:

Ta có \({x^3} + 3{y^3} = 9{z^3}.\)

\( \Rightarrow {x^3}\,\, \vdots \,\,3 \Rightarrow x\,\, \vdots \,\,3\)

Đặt \(x = 3{x_1}\,\,\left( {{x_1} \in {\mathbb{N}^*}} \right)\). Thay vào biểu thức ban đầu ta có:

\(\begin{array}{l}27x_1^3 + 3{y^3} = 9{z^3}\\ \Leftrightarrow 9x_1^3 + {y^3} = 3{z^3}\,\,\,\left( 2 \right)\\ \Rightarrow y\,\, \vdots \,\,3\end{array}\)

Đặt \(y = 3{y_1}\,\,\left( {{y_1} \in {\mathbb{N}^*}} \right)\). Tương tự thay vào biểu thức (2) ta có:

 \(\begin{array}{l}3x_1^3 + 9y_1^3 = {z^3}\,\,\left( 3 \right)\\ \Rightarrow z\,\, \vdots \,\,3\end{array}\)

 Đặt \(z = 3{z_1}\,\,\left( {{z_1} \in {\mathbb{N}^*}} \right)\). Thay vào (3) ta có:

\( \Rightarrow x_1^3 + 3y_1^3 = 9z_1^3.\)

Suy ra \(\left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)\) là nghiệm của phương trình (1).

Mà \({x_1} < x\) (Mâu thuẫn).

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm nguyên dương.