Cho lăng trụ đều $ABC.EFH$ có tất cả các cạnh bằ...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Chia khối đa diện $ABCSFH$ thành hai khối chóp $A.BCHF$ và $S.BCHF$ rồi tính thể tích.

Giải chi tiết:

Gọi $I$ là hình chiếu của $A$ lên $BH$. Khi đó $S$ đối xứng với $A$ qua $BH$ hay $S$ đối xứng với $A$ qua $I$.

Chia khối đa diện $ABCSFH$ thành hai khối chóp $A.BCHF$ và $S.BCHF$ thì ta có ${V_{ABCHFS}} = {V_{A.BCHF}} + {V_{S.BCHF}}$

Lại có $SI = AI$ và $SA \cap \left( {BCHF} \right)$ tại $I$ nên

$d\left( {A,\left( {BCHF} \right)} \right) = d\left( {S,\left( {BCHF} \right)} \right)$.

Suy ra ${V_{A.BCHF}} = {V_{S.BCHF}} \Rightarrow {V_{ABCHFS}} = 2{V_{A.BCHF}}$

Dễ thấy ${V_{A.BCHF}} = {V_{ABC.EFH}} - {V_{A.EFH}} = {V_{ABC.EFH}} - \dfrac{1}{3}{V_{ABC.EFH}} = \dfrac{2}{3}{V_{ABC.EFH}}$

Mà ${V_{ABC.EFH}} = AE.{S_{ABC}} = a.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}$ nên ${V_{A.BCHF}} = \dfrac{2}{3}{V_{ABC.EFH}} = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}$

$\Rightarrow {V_{ABCHFS}} = 2{V_{A.BCHF}} = 2.\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}$.

Vậy ${V_{ABCHFS}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}$.

Chọn D.