Cho \(\int\limits_0^1 {\dfrac{{xdx}}{{{{\left( {2x...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ, đặt \(t = 2x + 1\).

Giải chi tiết:

Đặt \(t = 2x + 1 \Rightarrow dt = 2dx \Rightarrow dx = \dfrac{{dt}}{2}\) và \(x = \dfrac{{t - 1}}{2}\) .

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 1\\x = 1 \Rightarrow t = 3\end{array} \right.\).

Khi đó \(\int\limits_0^1 {\dfrac{{xdx}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}}  = \int\limits_1^3 {\dfrac{{\dfrac{{t - 1}}{2}.\dfrac{{dt}}{2}}}{{{t^2}}}}  = \dfrac{1}{4}\int\limits_1^3 {\dfrac{{t - 1}}{{{t^2}}}dt}  = \dfrac{1}{4}\int\limits_1^3 {\left( {\dfrac{1}{t} - \dfrac{1}{{{t^2}}}} \right)dt}  = \left. {\dfrac{1}{4}\left( {\ln \left| t \right| + \dfrac{1}{t}} \right)} \right|_1^3 = \dfrac{1}{4}\ln 3 - \dfrac{1}{6}\).

\( \Rightarrow a =  - \dfrac{1}{6},\,\,b = 0,\,\,c = \dfrac{1}{4} \Rightarrow a + b + c = \dfrac{1}{{12}}\).

Chọn B.