Giả sử \(p = \overline {abc} \) là 1 số nguyên tố...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Chứng minh bằng phản chứng.

Giải chi tiết:

Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) có nghiệm \({x_{1;2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt \Delta  }}{{2a}}\,\,\,\left( {\Delta  = {b^2} - 4ac} \right)\).

Giả sử phương trình có nghiệm hữu tỉ thì \(\Delta \) là số chính phương.

Đặt \(\Delta  = {m^2} = {b^2} - 4ac \Rightarrow 4ac = {b^2} - {m^2} > 0 \Rightarrow b > m\,\,\left( {m \in Z} \right)\).

Xét tích

 \(\begin{array}{l}4a.\overline {abc}  = 4a\left( {100a + 10b + c} \right) = 400{a^2} + 40ab + 4ac\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 400{a^2} + 40ab + {b^2} - {m^2} = {\left( {20a + b} \right)^2} - {m^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {20a + b - m} \right)\left( {20a + b + m} \right)\end{array}\)

Mà \(p = \overline {abc} \) là 1 số nguyên tố \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}20a + b - m \vdots \overline {abc} \\20a + b + m \vdots \overline {abc} \end{array} \right.\)

Mặt khác

 \(\begin{array}{l}20a + b - m < 20a + b + m < 20a + b + b(m < b)\\ \Rightarrow 20a + b - m < 20a + b + m < 20a + b < 100a + 10b + c = \overline {abc} \\ \Rightarrow 20a + b - m < 20a + b + m < \overline {abc} \end{array}\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}20a + b - m \vdots \overline {abc} \\20a + b + m \vdots \overline {abc} \end{array} \right.\) vô lý

Vậy \(\Delta \) không phải là số chính phương hay phương trình đã cho không có nghiệm hữu tỷ (đpcm).