Cho mạch điện xoay chiều như hình vẽ: R là biến tr...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Dung kháng Z_C = 1/ωC; cảm kháng Z_L = ωL

- Định luật Ôm : I = U/Z

- Hệ số công suất cosφ = R/Z

- Công suất tiêu thụ: P = I²R

Giải chi tiết:

ω = 100π rad/s. Ta có Z_L = 100Ω, Z_C= 50Ω, U₀ = 200V

1. R = 100Ω

a) Tổng trở của mạch \(Z=\sqrt{{{R}^{2}}+{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}=50\sqrt{5}\Omega \)

Cường độ hiệu dụng: \(I=\frac{U}{Z}=\frac{{{U}_{0}}}{\sqrt{2}Z}=\frac{4}{\sqrt{10}}A\)

b) Hệ số công suất \(\cos \varphi =\frac{R}{Z}=\frac{100}{50\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}\)

2. Công suất tiêu thụ trên mạch:

\(P=\frac{{{U}^{2}}}{{{Z}^{2}}}R=\frac{{{U}^{2}}R}{{{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}=\frac{{{U}^{2}}}{R+\frac{{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}{R}}\)

Để P_max thì \(R+\frac{{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}{R}\) min.

Áp dụng BĐT cô si cho hai số không âm ta có: \(R+\frac{{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}{R}\ge 2\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)\)

Nên  \(R+\frac{{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}{R}\) min bằng 2(Z_L-Z_C) khi R = (Z_L-Z_C) = 50Ω

Khi đó P_max= 200W