Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ đường cao AH (\(H...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Chứng minh cặp tam giác đồng dạng theo trường hợp góc – góc. Suy ra biểu thức cần chứng minh.

b) Áp dụng định lý Pitago và tính chất đường phân giác của tam giác để tính độ dài AD.

c) Chứng minh cặp tam giác đồng dạng, áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác và tính chất bắc cầu để tìm ra tỉ lệ thức cần chứng minh.

Giải chi tiết:

a) Xét tam giác HBA và tam giác ABC ta có:

\(\begin{array}{l}\angle AHB = \angle CAB = {90^0}\,\,\left( {gt} \right)\\\angle B\,\,\,chung\\ \Rightarrow \Delta HBA \sim \Delta ABC\;(g - g)\,\,\,\left( {dpcm} \right)\\ \Rightarrow \frac{{BA}}{{BC}} = \frac{{BH}}{{BA}} \Leftrightarrow B{A^2} = BH.BC\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

b) Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ABC ta có:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {12^2} + {16^2} = 400 \Rightarrow BC = 20cm\)

Ta có BD là phân giác góc B của tam giác ABC.  Áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác ta có tỉ lệ thức sau:

\(\begin{array}{l}\frac{{DC}}{{BC}} = \frac{{DA}}{{BA}} = \frac{{DC + DA}}{{BC + BA}} = \frac{{AC}}{{BC + BA}} = \frac{{16}}{{32}} = \frac{1}{2}\\ \Rightarrow \frac{{DA}}{{12}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow DA = \frac{{12}}{2} = 6cm\end{array}\)

c) Ta có \(\Delta HBA \sim \Delta ABC\) (chứng minh trên)

\( \Rightarrow \angle BAH = \angle BCA\;\,hay\,\angle BA{\rm{E}} = \angle BC{\rm{D}}\)  (hai góc tương ứng)

Xét tam giác EAB và tam giác DCB ta có:

\(\begin{array}{l}\angle ABE = \angle CB{\rm{D}}\;(gt)\\\angle BA{\rm{E}} = \angle BC{\rm{D}}\\ \Rightarrow \Delta E{\rm{A}}B \sim \Delta DCB\;(g - g)\\ \Rightarrow \frac{{BE}}{{B{\rm{D}}}} = \frac{{BA}}{{BC}}\;\;(1)\end{array}\)

Ta lại có: \(\frac{{DA}}{{DC}} = \frac{{BA}}{{B{\rm{C}}}}\) (tính chất đường phân giác)  (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{DA}}{{DC}} = \frac{{BE}}{{B{\rm{D}}}}\) (đpcm)