Chứng minh rằng dãy Fermat \({{F}_{n}}={{2}^{{{2}^...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất của ước số chung.

Giải chi tiết:

Gọi d là ƯCLN của dãy Fermat. Ta đi chứng minh   .

Ta có: \({{F}_{n}}={{2}^{{{2}^{n}}}}+1\) có thể viết thành \({F_k} = {a^{{2^k}}} + {b^{{2^k}}}\,\,\left( {k \in {\mathbb{Z}^ + }} \right)\) với \(\left( a;b \right)=1\) và \(2|ab\).

Vì \(2|ab\) và  \(\left( {a;b} \right) = 1\) nên giả sử \(a\) là số chẵn thì \(b\) phải là số lẻ.

Giả sử \(m>n\) với \(m,\,\,n\) là các số tự nhiên bất kỳ.

Gọi \(\left( {{F}_{m}};{{F}_{n}} \right)=d\)  (\(d\) là số lẻ vì \({{F}_{m}},\,\,{{F}_{n}}\) lẻ )

Ta có \({a^{2n + 1}} - {b^{2n + 1}}|{\left( {{a^{2n + 1}}} \right)^{m - n - 1}} - {\left( {{b^{2n + 1}}} \right)^{m - n - 1}}\)  vì \(x-y|{{x}^{k}}-{{y}^{k}}\).

Mà \({{a}^{2n}}+{{b}^{2n}}|{{\left( {{a}^{{{2}^{n}}}} \right)}^{2}}-{{\left( {{b}^{{{2}^{n}}}} \right)}^{2}}\Rightarrow {{F}_{n}}|{{F}_{m}}-2{{b}^{{{2}^{m}}}}\)

Từ \(d|{{F}_{n}}\)  và \(d|{F_m}\) \(\Rightarrow d|2{{b}^{{{2}^{m}}}}\Rightarrow d|{{b}^{{{2}^{m}}}}\). Mà \(d|{{F}_{m}}\Rightarrow d|{{a}^{{{2}^{m}}}}\).

Kết hợp giả thuyết \(\left( a;b \right)=1\Rightarrow d=1\)  (đpcm).